Expected waiting time in symmetric polling systems with correlated vacations

Polling systems have been extensively studied, and have had many applications. They have often been used for studying wired local areas networks (such as token passing rings) and wireless local area networks (such as bluetooth). In this work we relax one of the main restrictions on the statistical assumptions under which polling systems have been analyzed. Namely, we allow correlation between walking times. We consider (i) the gated regime where a gate closes whenever the server arrives at a queue. He then serves at that queue all customers who were present when the gate closes. (ii) the exhaustive service in which the server remains at a queue till it empties. Our analysis is based on stochastic recursive equations related to branching processes with migration with a random environment. In addition to our derivation of expected waiting times for polling systems with correlated vacations, we set the foundations for computing second order statistics of the general multi-dimensional stochastic recursions. Key-words: Branching processes, Polling Systems, Correlations, Second moments, Stochastic recursive equations. ∗ INRIA, BP93, 06902 Sophia Antipolis, France. Email: [email protected] † SMACS Research Group, Ghent University, Belgium. Email: [email protected] in ria -0 00 80 48 4, v er si on 2 20 J un 2 00 6 Temps d’attente dans les systèmes de polling symétriques avec vacances corrélées Résumé : Les systèmes de polling ont été beaucoup étudiés dans le passé et plusieurs applications ont été développées. Souvent, ces systèmes sont utilisés pour étudier les réseaux locaux fixes (comme le réseau en anneau à jeton) et mobiles (comme le réseau bluetooth). Dans ce travail, on relâche une des restrictions importantes sous laquelle les systèmes de polling sont analysés: nous permettons les temps du déplacement du serveur d’être corrélés. On considère (i) les systèmes de type "gated": une porte se ferme quand le serveur arrive à la file d’attente et le serveur ne sert que les clients qui sont présents quand la porte se ferme; (ii) les systèmes exhaustifs: le serveur quitte une file d’attente quand il ne reste plus de clients dans cette file d’attente. Notre analyse se base sur la théorie des équations récursives aléatoires liées aux processus de brachement avec migration dans un environnement aléatoire. Nous calculons l’espérence des temps d’attente pour les systèmes de polling et nous fournissons les fondations pour le calcul des statistiques du second ordre des récusions aléatoires multidimensionnelles. Mots-clés : Processus de branchement, Système de polling, Corrélation, deuxième moment, Equations stochastiques récursives. in ria -0 00 80 48 4, v er si on 2 20 J un 2 00 6 Polling with correlated vacations 3